mécanique hydraulique

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I. CONTRAINTES EFFECTIVES ET TOTALES

  I.1. Postulat de Terzaghi


L’idée fondamentale de Terzaghi consiste à postuler l’existence d’un nouveau tenseur de contraintes (au lieu du tenseur de contraintes en chaque point du sol calculé de la même façon qu’en résistance des matériaux); ce nouveau tenseur prend le nom de tenseur des contraintes effectives qui gouvernent à lui seul le comportement du squelette granulaire et du sol.

Donc, on a :                                                     s’ = s - u
 
avec : s = contrainte totale et u = pression interstitielle

Le postulat de Terzaghi est un résultat expérimental et non théorique, valable pour le cas de 2 phases (sol-eau ou sol-air), dans le cas général le problème est complexe (existence de 3 phases), certes, on peut définir des contraintes effectives s’, plusieurs tentatives à citer parmi elles, celle de Bishop :

s’ = s - u0 + x. (ua - uw)





avec : ua = pression de l’air ; uw = pression de l’eau ; sol saturé  x =1  et sol sec x = 0  

Postulat de Terzaghi

I.2.Cas statique



s  =  g . D + gsat . H
u = gw . H
s’ = g.D + (gsat - gw) . H
s’  = g.D + g’.H

I.3.Cas d’un écoulement


En statique, une particule de sol n’est soumise qu’à deux forces, son poids et la poussée d’Archimède, par contre en écoulement, la particule sol sera soumise à une force supplémentaire qu’on appelle force d’écoulement.

a) Ecoulement descendant



Equilibre
sv   =  g . z + gw. z1
  u   = gw . (z1 + z)
sV = g’. z



Ecoulement
sv  =  g.z + gw.(DH+z1)
u = gw. (z1 + z)
sV = g’.z + gw.DH


écoulement descendant
Figure 2 : écoulement descendant
On déduit qu’un écoulement descendant fait augmenter la contrainte effective (s’). Un remblai inondé lors d’une crue, tasse à la décrue.

b) Ecoulement ascendant :

Pour un écoulement de sens opposé (ascendant), on peut montrer que : s’= (g’ - i gw) . z

Lorsque la charge (h) augmente, le débit (Q) augmente et par conséquent la contrainte effective (s‘) diminue. Cette dernière s’annule quand le gradient hydraulique i atteint la valeur de
iC = g’ / gw

Equilibre
sv  =  g.z + gw. z1
   u  = gw . (z1 + z)
sV  = g’. z

Ecoulement
sv   =  g.z + gw.z1
 u    = gw. (DH + z1 + z)
s V = g’.z - gw.D
= (g’ – i.gw ). z
 
 
écoulement ascendant
Figure 3 : écoulement ascendant

Ø  à cet effet, les grains de sol sont parfaitement indépendants et entraînés : c’est le phénomène de la boulance (ou Renard)
Ø  le sol à cet instant n’offre aucune résistance : Le sol s’est liquéfié
Ø  on peut s’opposer à ce phénomène, soit par :
·   le rabattement de la nappe (diminution de la charge h ¯)
·   le chargement du fond de fouille augmentation de s‘ et on aura :
s’= ( g’- i gw ).z + S     avec : S = surcharge à ajouter

 II. CONTRAINTES GEOSTATIQUES 

Les contraintes dans le sol sont causées par les charges extérieures appliquées au sol et le poids de sol. La distribution des contraintes causées par les charges appliquées est souvent compliquée. La distribution des contraintes causées par le poids propre au sol peut aussi être compliquée.

Cependant, il existe une situation commune dans laquelle le poids du sol donne une distribution de contraintes très simple, cette situation se présente quand la surface du sol est horizontale et quand, la nature du sol varie peu dans la direction horizontale. Elle existe fréquemment spécialement dans les sols sédimentaires. Dans cette situation les contraintes sont appelées contraintes géostatiques.

II.1.Contraintes géostatiques verticales 


Dans la situation décrite, il n’y a pas de contraintes de cisaillement qui agissent sur les plans horizontaux et verticaux. La contrainte géostatique verticale à n’importe qu’elle profondeur est alors simplement calculée en considérant le poids du sol qui agit à cette profondeur.

Si le poids unitaire du sol est constant avec la profondeur :  s = g . z , avec g est le poids unitaire du sol et z la profondeur considérée.
Dans ce cas, la contrainte verticale varie linéairement avec la profondeur, comme montré sur la figure. Si le sol est stratifié, le poids unitaire est différent pour chaque couche :

s = òg.dz = å gi . z i


II.2. contraintes géostatiques horizontales 


Le rapport entre les contraintes horizontale et verticale est appelé le coefficient de contrainte latérale et est noté par le symbole K :
K =  sh  / sV 

La définition de K est utilisée pour des contraintes quelqu’elles soient (géostatiques ou non) .

Souvent, on peut être intéressé par la valeur de la contrainte géostatique horizontale, dans le cas spécial où il n’y a pas eu de déformation horizontale dans le dépôt. Dans ce cas, nous parlons de coefficient de contrainte latérale au repos ou plus brièvement de coefficient des terres au repos. On utilise alors le symbole  «Ko» : sH  = K0 . sv
           
Quand un sol sédimentaire se forme, il y a un accroissement de la contrainte verticale au futur et à mesure de la formation du dépôt. Lors de la formation de ce dépôt, qui se fait généralement sur de grandes étendues, il n’y a pas de raison pour qu’il y ait une compression latérale significative qui se développe dans le dépôt. A partir de là, on peut supposer que la contrainte latérale est inférieure à la contrainte verticale. Pour un dépôt de sable qui s’est formé de cette manière, Ko aura une valeur typique comprise entre 0.4 et 0.5 .

Par ailleurs, il est évident aussi que la contrainte latérale peut être supérieure à la contrainte verticale. Ceci est courant dans le cas de sols qui ont été fortement surchargés dans le passé. En effet, dans ce cas, les contraintes horizontales sont «emprisonnées », et ne disparaissent pas quand le chargement disparaît, Ko peut alors atteindre une valeur de 3.

II.3.Contraintes induites par les charges appliquées :  (Principe de superposition) 


La théorie de l’élasticité (linéaire) est souvent utilisée pour le calcul des contraintes induites à l’intérieur des massifs de sols par les charges extérieures qui leur sont appliquées. Cette théorie est principalement basée sur l’hypothèse que les déformations sont proportionnelles aux contraintes, et donc sur la réversibilité des déformations. La théorie de l’élasticité (linéaire) repose sur un principe très important qui est le principe de superposition (figure 3). Ce principe stipule que :

Etat de contrainte å1         ®     état de déformation e1
Etat de contrainte å2         ®     état de déformation e2
donc et par superposition :
(å1 + å2)    ®    (e1 + e2)

Ce principe fondamental dans la théorie de l’élasticité, sera constamment utilisé. En particulier, nous aurons :   sv  =  g.H + Ds v
 théorie de l’élasticité
Figure 4 : Principe de superposition 

Où  g.H est la contrainte géostatique et Ds v la contrainte due aux charges appliquées dans un milieu élastique non pesant.

Dans ce chapitre, nous présenterons aussi deux théories sur le calcul des contraintes dûes à l’application de charges verticales sur un massif de sol. Ces théories sont celles de Boussinesq et de Westergaard.

Remarque : 


§ La théorie de l’élastique est une approximation valable pour le calcul des contraintes verticales. Pour le calcul des autres contraintes, notamment les contraintes normales horizontales, les résultats peuvent être très irréalistes. C’est pour cela que nous les donnerons seulement à titre d’information mais il est recommandé de ne pas les utiliser dans les calculs réels.

§ Il est à noter que dans les formules dérivées de la théorie de Boussinesq, les contraintes ne dépendent pas des caractéristiques élastiques du milieu (module d’Young et coefficient de Poisson du sol), ce qui est un élément favorable à leur utilisation.

II.4. Théorie de Boussinesq


La méthode de Boussinesq  repose sur les hypothèses suivantes : un milieu infiniment large, homogène, isotrope, semi infini et élastique non pesant chargé par une force verticale Q.

a)  Charge ponctuelle


L’application directe de la formule de Boussinesq pour le cas d’une charge ponctuelle Q à un massif de sol satisfaisant aux hypothèses de calcul donné pour x situé à la profondeur z :

 

On peut écrire :                                                                                                





tg q = r / z ;   R² = z² + r² ;    cos5q =  (z/R) 5

 On obtient  :  Ds z = 3.Q.z3  / 2p.R5
                                                                                                         Qui peut être aussi écrite :                                                           






                                                                                                                                                      
  Dsz=(3Q/2p.Z2)/1/[1+(r/z)²]5/2=Q/z².N                                                                                                                                            
  Le facteur d’influence N = 3 / 2p [1+(r/z)²]5/2    
                                      Dsv = Ds z = 3Q.cos5q / 2p.z²
Les valeurs de N pour différentes valeurs de r/z sont données par le tableau suivant :

r/z

N

r/z

N

r/z

N

0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.476
0.466
0.433
0.385
0.329
0.273
0.221
0.176
0.80
0.90
1.00
1.00
1.20
1.30
1.40
1.50
0.139
0.108
0.084
0.066
0.051
0.040
0.032
0.025
1.60
1.70
1.80
1.90
2.00
2.20
2.40
2.50
0.020
0.016
0.013
0.011
0.009
0.006
0.004
0.003

Tableau 1 :  valeurs de N

b) Charges uniformément réparties

   
On utilise les procédés du calcul intégral. Chaque élément d’aire porte une charge équivalente à une  force concentrée q0.dA (q0 est la densité de chargement) et engendre au point M une contrainte verticale :             
             ds = 3. q0.dA.cos5q / 2pZ² ; avec 
cosq = Z / R =  Z / (r² + Z²)

La contrainte totale sera égale à :

s = (3 /2pZ²) ò q0.cos5q  dA         
  l’intégrale se fera sur l’aire totale

ü  Charge rectangulaire


La contrainte DsV sous le coin d’une répartition de charges uniformes et rectangulaires est donnée par :     DsV = qo. I      avec : I = coefficient d’influence

  
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Tableau 2 :  valeurs de I
Donc, connaissant les dimensions L et B du rectangle, et la profondeur Z du point sous l’un des coins du rectangle, il suffit de calculer m = L/Z et n = B/Z et déduire du tableau le coefficient d’influence I . On remarquera ici que m et n sont interchangeables, la contrainte est donnée par la relation :  Ds V = IV. qo

Pour tout point situé ailleurs qu’au droit d’un des coins du rectangle la détermination de Dsz se fait selon le principe de superposition.

Les deux exemples ci dessous, illustrent la démarche à suivre :

2 cas se présentent suivant la position du point de recherche de contrainte; à l’intérieur ou à l’extérieur du rectangle, la contrainte recherchée en est la somme.  


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! A la surface, le coefficient I ne dépend pas des dimensions du rectangle et vaut 0,25

ü  Charge circulaire

Dans l’axe d’une charge circulaire uniforme de rayon r, la contrainte verticale à la profondeur Z est égale à   :   
Dsz = q0.[1 -  1 / (1+(r/z)3/2)] avec J = f(r/z),  
Dsz = q0 . J


Charge circulaire
Figure 7 : Charge circulaire

ü  Charge en remblai

La contrainte à une profondeur z dûe à un remblai sous le coin comme représenté sur la figure et donnée sous forme d’abaque,  Dsz = I . q0 

Charge en remblai
Figure 8 : Charge en remblai



II.5.Méthode de Newmark


Newmark a construit un abaque, basé sur la solution de Boussinesq, pour la détermination de la contrainte verticale à n’importe quel point sous un chargement uniforme q0 de forme quelconque (complexe ou irrégulier ). A partir de la formule de Boussinesq ; on a :

r/z =  [(1 - DsZ/q0)-2/3 - 1]1/2

On voit bien que chaque abaque est dessiné pour une valeur de Z donnée, r/z = f(DsZ/q0). Chaque abaque doit être accompagné d’une échelle AB.

Pour le calcul de la contrainte verticale sous un point quelconque d’un chargement uniforme quelconque, on doit suivre les étapes suivantes :


  1.  Dessiner le chargement de densité q0, à l’échelle de l’abaque e = z/Z, avec z la profondeur réelle de calcul et Z la profondeur à l’échelle de l’abaque, c’est à dire  Z=AB
  2.  Mettre au centre de l’abaque le point où l’on désire la contrainte verticale.
  3.  Compter le nombre de portions de secteurs comprises dans le dessin soit M.
  4.  La contrainte verticale sous le point en question est alors :
Dsv = M . I . q0


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Figure 9 : Méthode de Newmark          

II.6.Diffusion simplifiée des contraintes

Lorsqu’on ne cherche qu’une valeur approximative des contraintes verticales, on peut se contenter de la diffusion simplifiée des contraintes suivantes :

DszA = q0 / [1 + 2(z/a).tg a] ; avec a généralement prise égale à 30° Dszp= 0
                                                                                                                    
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Figure 11 : Abaque (charge ponctuelle)
Abaque (charge rectangulaire)

Abaque (charge trapézoïdale)
Figure 13 : Abaque (charge trapézoïdale)